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Résumé

Nous étudions une famille naturelle à deux paramètres de Diff(R)- et Vect(R)-modules sur l'espace des opérateurs différentiels linéaires sur R.  Le problème de classification est résolu en utilisant les cohomologies de l'algèbre de Lie Vect(R) des champs de vecteurs sur R à coefficients dans l'espace Hom(, ,) des homomorphismes de densités tensorielles.  Les modules des opérateurs différentiels sont liés à la géométrie différentielle projective.  Nous trouvons une série de classes de cohomologie non triviales dans H1 (sl2(R) ; Hom(n/2, -n/2-1)), qui apparaissent en considérant la restriction des Vect(R)-modules des opérateurs différentiels à la sous-algèbre des symétries projectives sl2(R)  Vect(R).

Abstract

We study a natural two-parameter family of Diff(R)- and Vect(R)-modules on the space of al1 linear differential operators on R.  The classification problem is solved using cohomologies of the Lie algebra Vect(R) of vector fields on R with coefficientsin the space Hom(, ,) of linear maps on tensor-densities.  The modules of differential operators are related to the projective differential geometry.  We find a series of nontrivial cohomology classes in H1 (sl2(R) ; Hom(n/2, -n/2-1)) appearing if one considers the restriction of Vect(R)-modules of differential operators to the subalgebra of projective symmetries sl2(R)  Vect(R).

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Pour citer cet article :

Hichem Gargoubi. «Sur la géométrie de l'espace des opérateurs différentiels linéaires sur R». Bulletin de la Société Royale des Sciences de Liège, Volume 69 - Année 2000  Numéro 1 : 21 - 47
http://popups.ulg.ac.be/SRSL/document.php?id=1663

Quelques mots à propos de :  Hichem  Gargoubi

Centre de Physique Théorique CPT-CNRS, Luminy Case 907, F-13288 Marseille, Cedex 9, FRANCE

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